Archive for November, 2011

Tendency Central

1.Ukuran Pemusatan Data (Central Tendency)

Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (tendensi sentral). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral.Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu:

  • Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
  • Median
  • Mode

(1) Mean (arithmetic mean)

Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data.

(2) Median

Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,…, xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak di atas median.
Median sering dilambangkan dengan (dibaca “x-tilde”) apabila sumber datanya berasal dari sampel (dibaca “μ-tilde”) untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka.
Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:

  • Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
  • Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus dat

(3) Mode

Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:

  • Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
  • Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
  • Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus.

Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.

  • Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
  • Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus
  • untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus.

Karakteristik penting untuk ukuran tendensi sentral yang baik

Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat berikut:

  • Harus mempertimbangkan semua gugus data
  • Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.
  • Harus stabil dari sampel ke sampel.
  • Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.

Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik, namun tidak memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran nilai pusat yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.

Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda?

Nilai ukuran pusat yang tepat untuk digunakan tergantung pada sifat data, sifat distribusi frekuensi dan tujuan. Jika data bersifat kualitatif, hanya modus yang dapat digunakan. Sebagai contoh, apabila kita tertarik untuk mengetahui jenis tanah yang khas di suatu lokasi, atau pola tanam di suatu daerah, kita hanya dapat menggunakan modus. Di sisi lain, jika data bersifat kuantitatif, kita dapat menggunakan salah satu dari ukuran nilai pusat tersebut, mean atau median atau modus.
Meskipun pada jenis data kuantitatif kita dapat menggunakan ketiga ukuran tendensi sentral, namun kita harus mempertimbangkan sifat distribusi frekuensi dari gugus data tersebut.

  • Bila distribusi frekuensi data tidak normal (tidak simetris), median atau modus merupakan ukuran pusat yang tepat.
  • Apabila terdapat nilai-nilai ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau modus.
  • Apabila distribusi data normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean, median, atau modus dapat digunakan. Namun, mean lebih sering digunakan dibanding yang lainnya karena lebih memenuhi persyaratan untuk ukuran pusat yang baik.
  • Ketika kita berhadapan dengan laju, kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik.
  • Jika kita tertarik pada perubahan relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling tepat.

Referensi:

  • Mario Triola. 2004. Elementary Statistics. 9th Edition. Pearson Education.
  • Stephen Bernstein and Ruth Bernstein. 1999. Elements of Statistics I: Descriptive Statistics and Probability. The McGraw-Hill Companies, Inc
  • Web:
    • Statistical dispersion:

http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion

2. Ukuran Pemusatan (Measure of Central Tendency)

Ukuran pemusatan atau ukuran lokasi adalah beberapa ukuran yang menyatakan dimana distribusi data tersebut terpusat. (Howell, 1982)

I. Rata-rata (Mean)

Rata-rata merupakan ukuran pemusatan yang sering dan sangat familiar digunakan. Keuntungan rata-rata adalah dia dapat digunakan sebagai wakil atau gambaran dari data tersebut. Rata-rata peka akan adanya data ektrim atau pencilan.

Terdapat beberapa jenis rata-rata:

1. Rata-rata Hitung (Mean)

2. Rata-rata Tertimbang (Weighted Mean)

3. Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Rata-rata ukur kadang-kadang digunakan sebagai ukuran pemusatan data-data yang condong ke kanan, karena rata-rata ukur tidak terpengaruh kecondongan nilai ekstrem.

4. Rata-rata Harmonis

II. Median

Merupakan suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah setelah data diurutkan. Biasanya digunakan pada statistika non parametrik, dan digunakan untuk data yang bersifat skor. Median tidak terpengaruh oleh adanya data ekstrim (extrim point) atau pencilan (outliers) sehingga digunakan pada statistika kekar (robust statistics).

III. Modus

Adalah nilai yang paling sering muncul dari serangkaian data. Modus tidak dapat digunakan sebagai gambaran mengenai data. (Howell, 1982)

IV. Fraktil

Adalah nilai-nilai data yang membagi seperangkat data yang telah diurutkan menjadi beberapa bagian yang sama.

1. Kuartil. Adalah fraktil yang membagi data menjadi empat bagian yang sama.

Nilai-nilai kuartil diberi simbol Q1, Q2 (sama dengan Median) dan Q3.

2. Desil adalah Fraktil yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama, simbolnya adalah D1, D2, .., D9.

3. Persentil adalah Fraktil yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama, simbolnya adalah P1, P2, …, P99. (Mulyono, 1992)

3. Ukuran pemusatan data

Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua ( populasi ) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.[2]

Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah nilai tengah, median, dan modus. Masing-masing dari ukuran pemusatan data tersebut memiliki kekurangan.Nilai tengah akan sangat dipengaruh nilai pencilan. Median terlalu bervariasi untuk dijadikan parameter populasi. Sedangkan modus hanya dapat diterapkan dalam data dengan ukuran yang besar.

Referensi:

  1. Ronald E.Walpole. Pengantar Statistika, halaman 22-27″. 1993. Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama. ISBN 979-403-313-8
  2. Anton Dajan. Pengantar Metode Statistik Jilid I halaman 100-146″. 1981. Jakarta : Lembaga Penelitian, Pendidikan dan Penerangan Ekonomi dan Sosial

Kesimpulan

Dari ketiga bacaan yang menjelaskan mengenai tendency central tersebut pada dasarnya inti dari berbagai versi tersebut sama saja yaitu menjelaskan apa itu tendency central, apa saja komponennya, terdiri dari apa saja bagian-bagiannya, bagaimana cara melakukan pemusatan data dan sebagainya. Namun dengan menjelaskan pengertian dengan bahasa yang agak berbeda, tapi tetap intinya sama. Ada  yang menyebutkan bahwa tendency central ialah Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan), ada juga versi yang mengatakan bahwa Ukuran pemusatan atau ukuran lokasi adalah beberapa ukuran yang menyatakan dimana distribusi data tersebut terpusat. Dan yang terakhir mengatakan Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.

UKD 2 Korelasi Spearman

  1. Hitung besarnya Koefisien Korelasi Spearman dari data berikut:
Mahasiswa Kreativitas Mahasiwa Prestasi Mahasiswa
1 40 37
2 116 65
3 113 88
4 111 86
5 83 56
6 85 62
7 126 92
8 106 54
9 117 81
10
  1. Hitung besarnya Koefisien Korelasi spearman dari data berikut:
Dosen Produktivitas Ilmiah Prestasi Mahasiswa
1 37 40
2 65 116
3 88 113
4 54 106
5 81 117
6 42 82
7 46 98
8 39 87
9 86 111
10

Catatan:

1. Tambahkan sendiri data yang ke 10, dimana salah satu kolomnya diisikan angka yang membubuhkan 3 angka belakang NIM anda.

Jawab:

No.1

Mahasiswa Data Rangking D D2
kreatifitas prestasi kreatifitas prestasi
1 40 37 9 9 0 0
2 116 65 3 5 -2 4
3 113 88 4 2 2 4
4 111 86 5 3 2 4
5 83 56 8 7 1 1
6 85 62 7 6 1 1
7 126 92 1 1 0 0
8 106 54 6 8 -2 4
9 117 81 2 4 -2 4
10 002 002 10 10 0 0
åd = 0 åd2= 22

rs = 1 – = 1 – = 1 – 0, 133 = 0, 867

No.2

Dosen Data Rangking D D2
Produktifitas ilmiah Prestasi Mahasiswa Produktifitas ilmiah Prestasi Mahasiswa
1 37 40 9 9 0 0
2 65 116 4 2 2 4
3 88 113 1 3 -2 4
4 54 106 5 5 0 0
5 81 117 3 1 2 4
6 42 82 7 8 -1 1
7 46 98 6 6 0 0
8 39 87 8 7 1 1
9 86 111 2 4 -2 4
10 002 002 10 10 0 0
åd = 0 åd2=18

rs = 1 – = 1 – = 1 – 0, 109 = 0, 891

Statistik- Korelasi spearman

Fungsi Koefisien Korelasi Peringkat Spearman (rs)

Koefisien korelasi peringkat spearman (rs) adalah suatu ukuran dari kedekatan hubungan antara dua variabel ordinal. Dengan demikian koefisien korelasi peringkat Spearman berfungsi mirip dengan koefisien korelasi linier (r), hanya saja yang digunakan adalah nilai-nilai peringkat dari variabel x dan y, bukan nilai sebenarnya. Dari semua statistik yang didasarkan atas ranking (jenjang), koefisien korelasi rank spearman adalah yang paling awal dikembangkan dan mungkin yang paling dikenal hingga kini. Statistik ini kadang-kadang disebut rho, disini ditulis dengan rs. Ini adalah ukuran asosiasi yang menuntut kedua variabel sekurang-kurangnya dalam skala ordinal sehingga obyek-obyek atau individu-individu yang dipelajari dapat di ranking dalam dua rangkaian berturut.

Metode

Perhitungan koefisien peringkat Spearman dilakukan melalui tahap-tahap sebagai berikut:

  1. Penyusunan peringkat dari data
  2. Penentuan perbedaan peringkat dari pasangan data
  3. Perhitungan koefisien korelasi peringkat, dengan rumus sebagai berikut:

Metode untuk menghitung rs, pertama buat daftar N subyek, lalu cantumkan ranking-nya untuk variabel X dan ranking-nya untuk variabel Y. Kemudian tentukan berbagai harga di di = perbedaanantara kedua ranking itu. Kuadratkanlah tiap-tiap  di dan kemudian jumlahkanlah semua harga di di2 untuk mendapatkan Ni=1 di2. Lalu masukkan harga ini serta harga N (banyak subyek) ke dalam rumus.

Contoh 1:

Beberapa siswa di SMA X mengikuti bimbingan belajar di luar sekolah dengan tujuan meningkatkan prestasi akademik di sekolah. Orang tua siswa ingin mengetahui apakah ada hubungan antara prestasi akademik di tempat bimbingan belajar dengan prestasi akademik  di sekolah. Setelah mengikuti ujian akhir di sekolah hasilnya didapat dalam bentuk peringkat. Koefisien korelasi peringkat Spearman untuk hal ini dapat dihitung sebagai berikut:

Penyusunan peringkat dan penentuan perbedaan peringkat:

Nama Siswa Peringkat Prestasi di Bimbel Peringkat Prestasi di Sekolah Perbedaan Peringkat D2
Anton 3 5 -2 4
dio 5 2 3 9
dita 1 4 -3 9
wahyu 4 3 1 1
titis 6 7 -1 1
rendra 9 8 1 1
Nima 7 10 -3 9
utus 2 1 1 1
Liya 8 6 2 4
yuyun 10 9 1 1
∑D = 0 ∑D2 = 40

  • Perhitungan koefisien korelasi peringkat Spearman:

rs = 1 – = 1 – = 1 – 0.242 = 0.758

Untuk menginterprestasikan nilai koefisien korelasi Spearman, sama halnya dengan koefisian korelasi linier. Perlu diingat bahwa nilai korelasi nol (rs=0) menunjukkan tidak adanya korelasi. Sedangkan nilai korelasi +1,0 dan -1,0 menunjukkan korelasi yang sempurna. Dalam contoh diatas dapat diambil kesimpulan bahwa terdapat korelasi yang positif antara prestasi belajar di tempat bimbingan belajar dengan prestasi akademik di sekolah.

Contoh 2:

Berikut ini adalah data hubungan antara Nilai Ujian Tengah Semester (UTS) (X) dengan nilai Ujian Akhir Semester (UAS) (Y) dari 12 mahasiswa universitas U :

Mahasiswa Nilai UTS (X) Nilai UAS (Y)
A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

12

13

14

15

16

16

14

20

17

11

12

18

19

19

11

12

17

15

16

18

14

13

18

13

Sumber : Data fiktif

Buktikanlah hipotesis yang berbunyi “terdapat hubungan yang positif antara Nilai UTS dan UAS” dengan menggunakan data tersebut!

Jawab :

1.Merumuskan hipotesis :

H0 : Tidak terdapat hubungan yang positif  antara Nilai UTS dan UAS

H1 : Terdapat hubungan yang positif antara Nilai UTS dan UAS

2. Menentukan taraf signifikansi

Nilai α =  0,05

3. Menghitung  nilai ρ :

Untuk menghitung nilai ρ , maka harus disusun tabel  sebagai berikut :

UTS (X) UAS (Y) RX RY RX-RY (RX-RY)2
12

13

14

15

16

16

14

20

17

11

12

18

19

19

11

12

17

15

16

18

14

13

18

13

2,5

4

5,5

7

8,5

8,5

5,5

12

10

1

2,5

11

11,5

11,5

1

2

8

6

7

9,5

5

3,5

9,5

3,5

-9

-7,5

4,5

5

0,5

2,5

-1,5

2,5

5

-2,5

-7

7,5

81

56,25

20,25

25

0,25

6,25

2,25

6,25

25

6,25

49

56,25

∑b = 334

Masukkan ke Rumus korelasi Spearman

ρ= 1 – (6∑b)/(n (n^2-1))

ρ= 1 – (6.334)/(12 (12^-1))

ρ= 1 – 1,168

ρ= -0,168

Jadi,

Nilai  hitung ρ = -0,168 (tanda “-“ hanya menunjukkan arah hubungan dua variabel negatif). Nilai  tabel (n=12) = 0,591 (=0,05)

4.  Kesimpulan

Untuk itu, karena nilai  hitung ρ <  tabel, maka H0 diterima. Kesimpulannya adalah hipotesis yang berbunyi : “tidak terdapat hubungan antara nilai UTS dan UAS” diterima.